Максим задумал число увеличил его в 8 раз, 3000 Primerov 3
Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления! Сколько животных в стаде? Ответ: мороженное стоит 19 копеек. Сколько команд участвовало в турнире? Следует ли где-нибудь подряд, например, тысяча составных чисел, не прерываясь ни одним простым числом?
В течение дня было продано 15 пар обуви для девочек. Сколько пар обуви осталось? Ответ: осталось 5 пар обуви. Ответ: осталось пар обуви. Ответ: осталось 85 пар обуви.
Маша две недели ежедневно в 6 часов вечера записывала температуру воздуха. Эти данные она представила в таблице. Ответь на вопросы по таблице. Запиши ответ и объясни его. Учительница написала на доске числа: 8, 12, 24, Артём посмотрел на них и сказал: «Все эти числа - чётные». Прав ли Артём?
Коля взял лист квадратной формы со стороной 3 см, сложи его пополам так, что получились два прямоугольника. Сделай рисунок к тексту и запиши длину и ширину каждого получившегося прямоугольника. Папа напилил для кормушки рейки длиной 2дм 3 см, 2дм 6 см, 2дм 9см, 3дм 1 см. Сыну нужно взять 2 рейки общей длиной не более 5 дм. Какие рейки он может взять? Ребята из четырёх школ участвовали в строительстве снежных городков.
Число участников от двух школ уже указано в диаграмме. Известно, что от второй школы число участников было на 10 больше, чем в первой, а от четвёртой на 6 меньше, чем от третьей.
Дополни диаграмму двумя столбцами. Ниже изображены две пространственные фигуры. Запиши одно различие этих фигур. Дело разъясняется очень просто. Существовал не шахматный автомат, а только вера в него. Особенной популярностью пользовался автомат венгерского ме- ханика Вольфганга фон Кемпелена — , ко- торый показывал свою машину при австрийском и русском дворах, а затем демонстрировал публично в Париже и Лондоне.
Наполеон I играл с этим авто- матом, уверенный, что меряется силами с машиной. В середине прошлого века знаменитый автомат попал в Америку и кончил там свое существование во время пожара в Филадельфии. Другие автоматы шахматной игры пользовались уже не столь громкой славой. Тем не менее вера в су- 24 ществование подобных автоматически действующих машин не иссякла и в позднейшее время. В действительности ни одна шахматная машина не действовала автоматически. Внутри прятался ис- кусный живой шахматист, который и двигал фигуры.
Тот мнимый автомат, о котором мы сейчас упомина- ли, представлял собою объемистый ящик, заполнен- ный сложным механизмом.
На ящике имелась шах- матная доска с фигурами, передвигавшимися рукой большой куклы. Перед началом игры публике давали возможность удостовериться, что внутри ящика нет ничего, кроме деталей механизма. Однако в нем оста- валось достаточно места, чтобы скрыть человека не- большого роста эту роль играли одно время знаме- нитые игроки Иоганн Альгайер и Вильям Льюис. Возможно, что пока публике показывали последова- тельно разные части ящика, спрятанный человек бес- шумно перебирался в соседние отделения.
Механизм же никакого участия в работе аппарата не принимал и лишь маскировал присутствие живого игрока. Из всего сказанного можно сделать следующий вывод: число шахматных партий практически беско- нечно, а машины, позволяющие автоматически вы- брать самый правильный ход, существуют лишь в во- ображении легковерных людей. Поэтому шахматного кризиса опасаться не приходится.
Однако в последние годы произошли события, поз- воляющие усомниться в правильности этого вывода: сейчас уже существуют машины, «играющие» в шахматы. Это — сложные вычислительные машины, позволяющие выполнять многие тысячи вычислений в секунду. О таких машинах мы уже говорили выше. Как же может машина «играть» в шахматы? Конечно, никакая вычислительная машина ничего, кроме действий над числами, делать не может.
Но вычисления проводятся машиной по определенной схеме действий, по определенной программе, со- ставленной заранее. Шахматная «программа» составляется математи- ками на основе определенной тактики игры, при- чем под тактикой понимается система правил, позво- ляющая для каждой позиции выбрать единственный «наилучший» в смысле этой тактики ход. Вот один 25 из примеров такой тактики. Каждой фигуре приписы- вается определенное число очков стоимость : Король Вычтем из общей суммы очков для белых фигур сумму очков для черных фигур.
Полученная разность до некоторой степени характеризует материальный и позиционный перевес белых над черными. Если эта разность положительна, то у белых более выгодное положение, чем у черных, если же она отрицатель- на — мен«ее выгодное положение. Вычислительная машина подсчитывает, как мо- жет измениться указанная разность в течение бли- жайших трех ходов, выбирает наилучший вариант из всех возможных трехходовых комбинаций и печатает его на специальной карточке: «ход» сделан 1.
На один ход машина тратит очень немного времени в зависимости от вида программы и скорости действия машины , так что опасаться «цейтнота» ей не прихо- дится. Конечно, «обдумывание» партии только на три хода вперед характеризует машину как довольно сла- бого «игрока» 2. Так, например, при вычислениях можно рассматривать не все возмож- ные ответные ходы противника, а только «сильные» ходы шах, взятие, нападение, защита и т.
Далее, при особо сильных ходах противника можно вести вычисления не на три, а на боль- шее число ходов вперед. Можно также использовать иную шкалу стоимости фигур. В зависимости от выбора топ или иной тактики меняется «стиль игры» машины. Более подробно рассказать о составлении шах- матной программы для вычислительных машин было бы в этой книге затруднительно.
Некоторые простей- шие виды программ мы рассмотрим схематически в следующей главе. Тремя двойками Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число.
Надо взять три девятки и расположить их так: 9 99 , т. Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиоз- ность. Число электронов видимой вселенной ничтож- но по сравнению с ним. В моей «Занимательной арифметике» гл. X уже говорилось об этом. Воз- вращаюсь к этой задаче лишь потому, что хочу пред- ложить здесь по ее образцу другую: Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
Написанное число невелико — меньше даже, чем В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2 4 , т. Подлинно наибольшее число из трех двоек — не и не 22 2 т. Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.
З 27 , меньше чем З Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи. Рассмотрим общий случай.
Обозначим -цифру буквой а. Расположению 2 22 , З 33 , 4 44 соответствует написание а" т. Определим, при каком значении а последнее рас- положение изображает большее число, нежели пер- вое.
Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то большая вели- чина отвечает большему показателю. Разделим обе части неравенства на а. Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и больших чисел — другое. Вычислять это число десяти-» кратным умножением на 11 едва ли у кого хватит терпения.
Но можно оценить его величину гораздо, быстрее с помощью логарифмических таблиц. Число это превышает миллиардов и, следова-» тельно, больше числа в 25 с лишним млн. При каком расположении четыре двойки изобра- жают наибольшее число? Какое же из этих чисел наибольшее? Займемся сначала верхним рядом, т. Первое — , — очевидно, меньше трех прочих. Сравним теперь 22 22 с четвертым числом первой строки — с 2 , Заменим 22 22 большим числом 32 22 и 30 покажем, что даже это большее число уступает по ве- личине числу 2 Итак, наибольшее число верхней строки — 2 Далее, первое число этого ряда, рав- ное 22 4 и меньшее, чем 32 4 или 2 20 , меньше каждого из двух следующих.
Подлежат сравнению, следова- тельно, три числа, каждое из которых есть степень 2, Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобра-: зить четырьмя двойками, таково; 2 Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представ- ление о величине этого числа, пользуясь приближен-, ным равенством 2 10 » Итак, в этом числе — свыше миллиона цифр.
Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них: На родном языке: На языке алгебры: Купец имел некоторую сумму денег. X В первый год он истратил фунтов. Решение уравнений — зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше.
Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения действительно сводится к умению перево- дить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Переводы попадаются различные по трудности, как убедится читатель из ряда приведен- ных далее примеров на составление уравнений пер- вой степени. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице — надписи, составленной в форме математи- ческой задачи.
Мы приведем эту надпись. И, Перельман 33 На родном языке: На языке алгебры: Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И чйсла поведать Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. X Часть шестую его представляло прекрасное детство. X 6 Двенадцатая часть протекла еще жизни — покрылся Пухом тогда подбородок. X 12 Седьмую в бездетном Браке провел Диофант. X 7 Прошло пятилетие; он Был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына. X 2 И в печали глубокой Старец земного удела конец восприял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился.
РЕШЕНИЕ Решив уравнение и найдя, что х — 84, узнаем сле- дующие черты биографии Диофанта; он женился 21 года, стал отцом на м году, потерял сына на м году и умер 84 лет. Лошадь жаловалась на свою непомер- но тяжелую ношу. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей». Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул? Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков — мул. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги.
Сколько было у каждого? Итак, у братьев было: 8 руб. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. На верхушке каждой пальмы сидит птица.
Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно.
На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей. Я выйду в три часа. Может быть, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время, встретимся на полпути.
Не грешно бы дать мне небольшую льготу. Так как я прохожу больше вас на 1 о в час, то, чтобы уравнять нас, дам вам этот километр, т. Доста- точно? Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 км в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 о в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом. Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?
Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчет- веро меньше, т. До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. От дома молодого человека до дома доктора 2,4 км.
Артель косцов Известный физик А. Цингер в своих воспо- минаниях о Л. Толстом рассказывает о следую- щей задаче, которая очень нравилась великому пи- сателю: «Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась попо- лам: первая половина осталась на большом лугу и 39 докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался Рис.
Сколько косцов было в артели? РЕШЕНИЕ В этом случае, кроме главного неизвестного — чис- ла косцов, которое мы обозначим через х , — удобно ввести еще и вспомогательное, именно — размер участ- ка, скашиваемого одним косцом в 1 день; обозна- чим его через у.
Хотя задача и не требует его опре- деления, оно облегчит нам нахождение главного не- известного. Выразим через хи у площадь большого луга. Луг этот косили полдня х косцов; они скосили Вторую половину дня его косила только половина артели, т.
В артели было 8 косцов. После напечатания первого издания «Заниматель- ной алгебры» проф. Цингер прислал мне по- дробное и весьма интересное сообщение, касающееся этой задачи. Главный эффект задачи, по его мнению, в том, что «она совсем не алгебраическая, а арифме- тическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой».
Раевский близкий друг Л. Толстого , среди прочих предметов препо- давалось нечто вроде педагогики. Для этой цели студенты должны были посещать отведенную для уни- верситета городскую народную школу и там в сотруд- ничестве с опытными искусными учителями упраж- няться в преподавании. Среди товарищей Цингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам — чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров умерший очень молодым, кажется, от чахот- ки утверждал, что на уроках арифметики учеников 41 портят, приучая их к шаблонным задачам и к шаб- лонным способам решения.
Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие нешаблонности очень затрудняли «опытных искусных учителей», но легко решались более способными уче- никами, еще не испорченными учебой. К числу таких задач их Петров сочинил не- сколько относится и задача об артели косцов.
Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое арифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что при- влекать для ее решения алгеб- раический аппарат совсем не стоит.
Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает у луга. Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слиш- ком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым — уже стариком, его осо- бенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом рис.
Ниже нам встретятся еще несколько задач, кото- рые при некоторой сообразительности проще решают- ся арифметически, чем алгебраически. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров — в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней? Задача эта послужила сюжетом для юмористиче- ского рассказа, напоминающего чеховский «Репети- тор».
Двое взрослых, род- ственники школьника, ко- торому эту задачу зада- ли для решения, без- успешно трудятся над нею и недоумевают: — Выходит что-то странное, — говорит один из решающих: — если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга, то сколь- ко коров съедят ее в 96 дней? Пер- вая нелепость! А вот вто- рая: 30 коров поедают траву в 60 дней; сколько ко- ров съедят ее в 96 дней? Получается еще хужез 18 коровы.
Кроме того: если 70 коров поедают тра- ву в 24 дня, то 30 коров употребляют на это 56 дней, а вовсе не 60, как утверждает задача. Замечание резонное: трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противо- речивым. Как же решается задача? Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в те- чение 18 недель?
РЕШЕНИЕ Введем вспомогательное неизвестное у, означаю- щее, какая доля первоначального запаса травы при- растает на 1 га в течение недели. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю часть, т. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Третий луг может прокормить в тече- ние 18 недель 36 быков.
Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при- ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу рис. Если бы в этом положении боль- шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания.
Но в другие мо- менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стре- лок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может; минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показыва- ет Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло- жения, что замена одной другою дает новое положе- ние, тоже возможное на правильных часах?
Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению. И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи Пусть одно из требуемых положений стрелок на- блюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на х делений, а минутная — на у делений.
Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. Иначе говоря, после того как часы показывали 12, прошло - г- часов.
Это число является целым от нуля до 11 , так как оно показывает, сколько полных часов прошло после двенадцати. Это число также является целым от нуля до Имеем систему уравнений где т и п — целые числа, которые могут меняться от 0 до Соответствующие моменты: 8 час.
Число решений мы знаем: Чтобы найти все точки циферблата, которые дают требуемые положе- ния стрелок, надо окружность циферблата разделить на равные части: получим точки, являющиеся искомыми. В промежуточных точках требуемые поло- жения стрелок невозможны. РЕШЕНИЕ Мы можем воспользоваться уравнениями, выве- денными при решении предыдущей задачи: ведь если часовая и минутная стрелка совместились, то их мож- но обменять местами — от этого ничего не изме- нится.
При этом обе стрелки прошли одинаковое число делений от цифры 12, т. Таким обра- зом, из рассуждений, относящихся к предыдущей 49 V- задаче, мы выводим уравнение где т — целое число от 0 до Искусство отгадывать числа Каждый из вас, несомненно, встречался с «фоку- сами» по отгадыванию чисел.
Фокусник обычно пред- лагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на 3, отними 5, от- ними задуманное число и т. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгно- венно сообщает задуманное вами число. Секрет, «фокуса», разумеется, очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно обратиться к пра- вой колонке таблицы, где указания фокусника пере- ведены на язык алгебры.
Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число. Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что по- лучилось Как видите, все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы полу- чить задуманное число. Поняв это, вы можете еще более удивить и озада- чить ваших приятелей, предложив им самим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете приятелю заду- мать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или отнимать из- вестное число скажем: прибавить 2, отнять 5 и т.
Ваш приятель нагромождает, чтобы запутать вас, ряд дей- ствий. Например, он задумывает число 5 этого он вам не сообщает и, выполняя действия, говорит: — Я задумал число, умножил его на 2, прибавил к результату 3, затем прибавил задуманное число; теперь я прибавил 1, умножил на 2, отнял задуманное число, отнял 3, еще отнял задуманное число, от- нял 2.
Наконец, я умножил результат на 2 и приба- вил 3. К его изумлению вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5. Как вы это делаете?
Теперь это уже достаточно ясно. Когда ваш приятель сообщает вам о действиях, которые он выполняет над задуманным числом, вы одновременно действуете в уме с неизвестным х.
Он вам говорит: «Я задумал число Он говорит: « Теперь он говорит: «У меня по- лучилось 49». Решить его — пара пустяков, и вы немедленно сооб- щаете ему, что он задумал число 5. Фокус этот особенно эффектен потому, что не вы предлагаете те операции, которые надо произвести над задуманным числом, а сам товарищ ваш «изо- бретает» их.
Есть, правда, один случай, когда фокус не удается. Что же в таком случае делать? Поступай- те так: как только у вас получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп!
Теперь я могу, ничего не спрашивая, Сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это Уже совсем озадачит вашего приятеля — ведь он со- всем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не уз- нали задуманное число, фокус получился на славу!
Немного поупражнявшись, вы легко сможете пока- зывать своим приятелям такие «фокусы». Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.
Попробуйте расшифровать ее. РЕШЕНИЕ Вы догадались, вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, — иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть осно- вание неизвестной системы счисления есть х. Число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 еди- ницы первого, т.
Ответ: 81 девятеричная система счисления. Уравнение думает за нас Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите сле- дующую задачу: Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына? Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не ока- жется в 10 раз превосходящим возраст сына — такое соотношение могло быть только в прошлом.
Урав- нение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сде- ланном упущении. Курьезы и неожиданности При решении уравнений мы наталкиваемся иногда на ответы, которые могут поставить в тупик мало- опытного математика.
Приведем несколько примеров. Найти двузначное число, обладающее следую- щими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше циф- ры единиц. Если из числа, записанного теми же циф- рами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится Что это значит? Это означает лишь, что двузначного числа, удовле- творяющего поставленным условиям, не существует 55 и что составленные уравнения противоречат одно другому. Одна и та же величина 9 у — 9х согласно первому уравнению равна 36, а согласно второму Это без- условно невозможно, так как 36 Ф Чисел, удовлетворяющих этой системе, не существует.
Системы уравнений, которые, подобно сейчас рассмотренным, не имеют решений, называют- ся несовместными. С иного рода неожиданностью встретимся мы, если несколько изменим условие предыдущей задачи. Именно будем считать,. Что это за число? Составляем уравнение. Значит ли это, что чисел, удовлетворяющих требованию задачи, не сущест- вует? Напротив, это означает, что составленное нами уравнение есть тождество, т. Найти трехзначное число, обладающее следую- щими свойствами: 1 цифра десятков 7; 2 цифра сотен на 4 меньше цифры единиц; 3 если цифры этого числа разместить в обратном порядке, то новое число будет на больше иско- мого.
Читатели уже знают, как надо толковать подоб- ный результат. Он означает, что каждое трехзначное число, в котором первая цифра на 4 меньше третьей 1 , увеличивается на , если цифры поставить в обрат- ном порядке.
До сих пор мы рассматривали задачи, имеющие более или менее искусственный, книжный характер; их назначение — помочь приобрести навык в состав- лении и решении уравнений. Теперь, вооруженные тео- ретически, займемся несколькими примерами задач практических — из области производства, обихода, военного дела, спорта.
Оказывается, что такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парик- махерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой: — Не поможете ли нам разрешить задачу, с кото- рой мы никак не справимся?
Нужно их смешать так, чтобы составился процентный раствор. Не мо- жем подыскать правильной пропорции Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена. Она оказалась очень простой. Какой именно? Пусть для составления процентной смеси требуется взять х граммов 3-процентного раствора и у граммов процентного.
Из этого уравнения находим х — 2 у, т. И я и трамваи дви- жемся равномерно. Через сколько минут один после другого поки- дают трамвайные вагоны свои конечные пункты? РЕШЕНИЕ Если вагоны покидают свои конечные пункты каж- дые х минут, то это означает, что в то место, где я встретился с одним из трамваев, через х минут прихо- дит следующий трамвай. Если он догоняет меня, то в оставшиеся 12 — х минут он должен пройти тот путь, который я успеваю пройти в 12 минут.
Если же трамвай идет мне навстречу, то он встре- тит меня через 4 минуты после предыдущего, а в ос- тавшиеся х — 4 минуты он пройдет тот путь, кото- рый я успел пройти в эти 4 минуты. Вагоны отходят каждые 6 минут. Можно также предложить следующее по сути де- ла арифметическое решение задачи. Обозначим рас- стояние между двумя следующими один за другим трамваями через а. Если же трамвай до- гоняет меня, то расстояние между нами ежеминутно уменьшается на Предположим теперь, что я 59 в течение минуты шел вперед, а затем повернул назад и минуту шел обратно т.
Тогда между мной и трамваем, двигавшимся вначале мне навстречу, за первую минуту расстояние уменьшилось на а за вторую минуту когда этот трамвай уже догонял меня на у. Это означает, Что мимо неподвижно стоящего наблюдателя трамваи проходят с интервалом в 6 минут. Обратно, против течения, он шел двигаясь с той же собственной скоростью и также не останавливаясь 7 часов. Сколько часов идут из Л в б плоты плоты движутся со скоростью течения реки? Тог- да за час пароход проходит расстояния Лб, а пло- ты течение — этого расстояния.
Мы же знаем из х у 60 условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час -д- расстояния, а вверх у. Плоты идут из Л в В 35 часов. Каков чистый вес кофе в же- стянках? Так как веса содержимого полных жестянок отно- сятся, как их объемы, т. Вес кофе без упаковки: в большей жестянке 1,92 кг, в меньшей — 0,94 кг.
Мария танце- вала с семью танцорами, Ольга — с восемью, Вера — с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров мужчин бы- ло на вечеринке? Скорость эскадры — 35 миль в час, скорость разведчика — 70 миль в час.
Требуется определить, через сколько времени разведчик возвратится к эс- кадре. За это время эскадра успела пройти 35х миль, разведыва- тельный же корабль 70 х. Разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же про- шла остальную часть того же пути.
Разведчик возвратится к эскадре через 1 час, 20 минут. Че- рез 3 часа судно это должно вернуться к эскадре. Спустя сколько времени после оставления эскадры разведывательное судно должно повернуть назад, если скорость его 60 узлов, а скорость эскадры 40 узлов?
Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каж- дые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые секунд. Ка- кова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги м? Второй же, двигаясь ему навстречу, проезжает от встречи до встречи ос- тальную часть круга, т.
Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т. После упрощения этих уравнений получаем! Остановок в пути не было. РЕШЕНИЕ Хотя требуется определить семь неизвестных ве- личин, мы обойдемся при решении задачи только дву- мя: составим систему двух уравнений с двумя неиз- вестными. Обозначим скорость второй машины через х.
Длину участка пути обозначим буквой у. Тогда продолжительность пробега обозначится: для первой машины через. Итак, скорости машин определены: 90, 75 и 72 километра в час. Разделив длину пути на скорость каждой машины, найдем продолжительность пробегов; первой машины Таким образом, все семь неизвестных определены.
Средняя осорость езды ЗАДАЧА Автомобиль проехал расстояние между двумя го- родами со скоростью 60 километров в час и возвра- тился со скоростью 40 километров в час. Какова была средняя скорость его езды? Не вникнув в условия вопроса, вычисляют среднее арифметическое между 60 и 40, т. Учтя это, мы поймем, что ответ 50 — неверен. И действительно, уравнение дает другой ответ. Итак, средняя скорость езды выражается не сред- ним арифметическим, а средним гармоническим для скоростей движения.
Мы уже говорили о том, что вычислительные машины могут «играть» в шах- маты или шашки. Математические машины могут выполнять и другие задания, например, перевод с од- ного языка на другой, оркестровку музыкальной ме- лодии и т.
Нужно только разработать соответствую- щую «программу», по которой машина будет действо- вать. Конечно, мы не будем рассматривать здесь «про- граммы» для игры в шахматы или для перевода с од- ного языка на другой: эти «программы» крайне слож- ны.
Мы разберем лишь две очень простенькие «про- граммы». Однако вначале нужно сказать несколько слов об устройстве вычислительной машины. Выше в гл. I мы говорили об устройствах, кото- рые позволяют производить многие тысячи вычисле- ний в секунду. Эта часть вычислительной машины, служащая для непосредственного выполнения дей- ствий, называется арифметическим устрой- ством.
Кроме того, машина содержит управляю- щее устройство регулирующее работу всей ма- шины и так называемую память. Память, или, иначе, запоминающее устройство, представляет собой хранилище для чисел и условных сигналов. Наконец, машина снабжена особыми устройствами для ввода новых цифровых данных и для выдачи готовых ре- зультатов. Эти готовые результаты машина печатает уже в десятичной системе на специальных карточ- ках.
Всем хорошо известно, что звук можно записать на пластинку или на пленку и затем воспроизвести. Но запись звука на пластинку может быть произве- дена лишь один раз: для новой записи нужна уже новая пластинка. Несколько иначе осуществляется запись звука в магнитофоне: при помощи намагничи- вания особой ленты. Записанный звук можно воспро- извести нужное число раз, а если запись оказалась уже ненужной, ее можно «стереть» и произвести на той же ленте новую запись.
На одной и той же ленте 69 можно произвести одну за другой несколько записей, причем при каждой новой записи предыдущая «сти- рается». На подобном же принципе основано действие за- поминающих устройств. Числа и условные сигналы записываются при помощи электрических, магнит- ных или механических сигналов на специальном ба- рабане, ленте или другом устройстве.
В нужный момент записанное число может быть «прочтено», а если оно уже больше не нужно, то его можно стереть, а на его месте записать другое число. Для записи чисел по двоичной системе счисления условимся считать, что каждый намагниченный элемент изображает цифру 1, а нена- магниченный — цифру 0. На рис. Рассмо- трим верхнюю из изображенных ячеек запятая по- казывает, где начинается дробная часть числа, а пунк- тирная линия отделяет первый разряд, служащий для записи знака, от остальных.
Кроме чисел в ячейках памяти записываются при- казы, из которых состоит программа. Рассмотрим, как выглядят приказы для так называемой трех- адресной машины. В этом случае при записи при- каза ячейка памяти разбивается на 4 части пунктир- ные линии на нижней ячейке, рис. Первая часть служит для обозначения операции, причем операции записываются числами номерами. Приказы расшифровываются так: первая часть ячейки — номер операции, вторая и третья части — номера ячеек а д р е с а , из которых надо взять числа для выполнения этой операции, четвертая часть — номер ячейки адрес , куда следует отправить по- лученный результат.
Например, на рис. В дальнейшем мы будем записывать числа и при- казы не условными значками, как на рис. Например, приказ, изображенный в нижней строке рис.
После выполнения 1-го приказа в 4-й и 5-й ячей- ках будут следующие числа: 4 1, 5 1. Иначе говоря, приказ п. Итак, снова 1-й приказ. Мы видим, что машина вычисляет один за другим квадраты целых чисел и выписывает их на карточку. Заметьте, что каждый раз набирать новое число вручную не надо: машина сама перебирает под- ряд целые числа и возводит их в квадрат.
Действуя 72 по этой программе, машина вычислит квадраты всех целых чисел, скажем, от 1 до 10 в течение несколь- ких секунд или даже долей секунды. Следует отметить, что в действительности про- грамма для вычисления квадратов целых чисел должна быть несколько сложнее той, которая приве- дена выше.
Это прежде всего относится ко 2-му при- казу- Дело в том, что выписывание готового резуль- тата на карточку требует во много раз больше вре- мени, чем выполнение машиной одной операции.
Поэтому готовые результаты сначала «запоминаются» в свободных ячейках «памяти», а уже после этого «не спеша» выписываются на карточку. Таким об- разом, первый окончательный результат должен «за- поминаться» в 1-й свободной ячейке «памяти», вто- рой результат — во 2-й свободной ячейке, третий — в 3-й и т. В приведенной выше упрощенной про- грамме это никак не было учтено. Кроме того, машина не может долго заниматься вычислением квадратов — не хватит ячеек «памя- ти», а «угадать», когда машина уже вычислила нужное нам число квадратов, чтобы в этот момент вы- ключить ее, невозможно ведь машина производит многие тысячи операций в секунду!
Поэтому преду- смотрены особые приказы для остановки машины в нужный момент. Например, программа может быть составлена таким образом, что машина вычислит ква- драты всех целых чисел от 1 до 10 и после этого автоматически выключится. Если и другие более сложные виды приказов, на которых мы здесь для простоты не останавливаемся. После выполнения этих двух приказов в 8-й, 9-й и й ячейках будут следующие числа: 8 1 9 1 10 I 2 Третий приказ очень интересен: надо сложить то, что стоит во 2-й и 6-й ячейках, и результаты сно- ва записать во 2-й ячейке, после чего 2-я ячейка будет иметь вид 2 умножение 8 8 Как видите, после выполнения третьего приказа м е- няется второй приказ, вернее меняется один из адресов 2-го приказа.
Ниже мы выясним, для чего это делается. Четвертый приказ: условная передача управления вместо 3-го приказа в рассмотренной ранее программе. Этот приказ выполняется так: если число, стоящее в 8-й ячейке, меньше числа, стоя- щего в 7-й ячейке, то передается управление в 1-ю ячейку; в противном случае выполняется следующий т.
После выполнения 1-го приказа в 8-й ячейке будет число 2. Второй приказ, который теперь имеет вид 2 умножение 8 8 11, заключается в том, что число 2 2 направляется в ю ячейку.
Теперь ясно, зачем был выполнен ранее 3-й приказ: новое число, т. Так как в 8-й ячейке все еще стоит меньшее число, чем в 9-й ячейке, то 4-й приказ означает снова передачу управ- ления в 1-ю ячейку. Теперь после выполнения 1-го и 2-го приказов по- лучим: 8 3 9 1 10 I 2 11 2 2 12 З 2 До каких пор машина будет по этой программе вычислять квадраты?
До тех пор, пока в 8-й ячейке не появится число 10 , т. После этого 4-й приказ уже не передаст управления в 1-ю ячейку так как в 8-й ячейке будет стоять число, не меньшее,, а равное числу, стоящему в 7-й ячейке , т.
Рассмотрим теперь более сложный пример про- граммы: решение систем уравнений. При этом мы рассмотрим упрощенную программу, При желании читатель сам подумает о том, как должна выглядеть такая программа в полном виде. Машина же может решить в секунду тысячи таких систем. Рассмотрим соответствующую программу. Аналогично выполняются приказы 8-й и 9-й. Это и есть значения неизвестных, получаемых из первой системы уравнений. Итак, первая система решена.
Зачем же дальней- шие приказы? Дальнейшая часть программы ячей- ки я — я предназначена для того, чтобы заста- вить машину «подготовиться» к решению второй системы уравнений. Посмотрим, как это происходит. Приказы с го по й заключаются в том, что к со- держимому ячеек 1-й — 6-й прибавляется запись, имеющаяся в й ячейке, а результаты снова остают- ся в ячейках 1-й — 6-й. Таким образом, после выпол- нения го приказа первые шесть ячеек будут иметь следующий вид: 1 X 34 36 20 2 X 33 37 21 3 X 32 33 22 4 X 33 35 23 5 X 32 37 24 6 X 34 35 25 77 й приказ; передача управления в первую ячейку.
Чем же отличаются новые записи в первых шести ячейках от прежних записей? Тем, что первые два адреса в этих ячейках имеют номера не от 26 до 31, как прежде, а номера от 32 до Иначе говоря, ма- шина снова будет производить те же действия, но числа будет брать не из ячеек й — й, а из ячеек й — й, где стоят коэффициенты второй системы уравнений. В результате машина решит вторую си- стему уравнений. После решения второй системы ма- шина перейдет к третьей и т.
Из сказанного становится ясным, как важно уметь составить правильную «программу». Ведь машина «сама» ничего делать не «умеет». Она может лишь выполнять заданную ей программу. Имеются про- граммы для вычисления корней, логарифмов, синусов, для решения уравнений высших степеней и т. Мы уже говорили выше о том, что существуют програм- мы для игры в шахматы, для перевода с иностран- ного языка,.
Конечно, чем сложнее задание, тем сложнее соответствующая программа. Заметим в заключение, что существуют так назы- ваемые программирующие программы, т. Это значительно облегчает составление программы, которое часто бывает очень трудоемким. Ей приходится в таких случаях прибегать к обобщающим приемам алгебры. К по- добным арифметическим положениям, обосновывае- мым алгебраически, принадлежат, например, многие правила сокращенного выполнения действий, любо- пытные особенности некоторых чисел, признаки дели- мости и др.
Рассмотрению вопросов этого рода и по- свящается настоящая глава. Мгновенное умножение Вычислители-виртуозы во многих случаях облег- чают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок. На чем основан этот прием? Последняя строка и изображает прием вычисли- теля.
Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме В этом примере нам приходилось возводить в ква драт число Правило состоит в том, что умножают число де- сятков на число, на единицу большее, и к произведе- нию приписывают Прием основан на следующем. Умножить число на и прибавить 25 — все равно, что приписать к числу Из того же приема вытекает простой способ воз- водить в квадрат числа, состоящие из целого и —.
Ме- нее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, 81 оканчивающегося шестеркой, также оканчивается ше- стеркой.
Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6. Как видим, произведение составляется из некото- рого числа десятков и из цифры 6, которая, разу- меется, должна оказаться на конце.
Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5. Числа 25 и 76 Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и — что, вероятно, для многих будет неожиданностью, — число Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на Докажем это. Бесконечные «числа» Существуют и более длинные группы цифр, кото- рые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении.
Число таких групп цифр, как мы пока- жем, бесконечно велико. Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трех- значная группа цифр тоже обладала требуемым свой- ством.
Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через 6. Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Итак, искомая группа цифр имеет вид Поэто- му и всякая степень числа оканчивается на Например: 2 — Искомая четырехзначная группа цифр Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассу- ждать точно так же, как и выше.
Мы получим 09 Проделав еще один шаг, найдем группу цифр , затем 7 и т. Такое приписывание цифр слева можно произво- дить неограниченное число раз. В результате мы по- лучим «число», у которого бесконечно много цифр Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются спра- ва налево, а сложение и умножение «столби- ком» также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вы- числить одну цифру за другой — сколько угодно цифр.
Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76 1.
Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр: 5, 25, , , 90 , , 2 и т. В результате мы сможем написать еще одно беско- нечное «число». Поэтому «число» Такие числа, рас- сматриваемые в системе счисления с основанием р, называются р-адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Дынкииа и В. Успенского «Математические беседы» Гостехиздат, Двое прасолов продали принадлежавший им гурт волов, получив при этом за каждого вола столь- ко рублей, сколько в гурте было волов.
На выручен- ные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному доста- лась лишняя овца, другой же взял ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата предполагается, что доплата выра- жается целым числом рублей? Приходится решать ее особым путем, так ска- зать, по свободному математическому соображению.
Но и здесь алгебра оказывает арифметике существен- ную помощь. Стоимость всего стада в рублях есть точный ква- драт, так как стадо приобретено на деньги от про- дажи п волов по п рублей за вола. Одному из ком- паньонов. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате чис- ло десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6. В самом деле, квадрат всякого числа из а десят- ков и Ъ единиц, т. Вспомним, что такое Ъ 2.
Это— -квадрат цифры единиц, т. Теперь легко найти ответ на вопрос задачи. Ясно, что ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил, следовательно, на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен дополучить от своего компаньона 2 рубля.
Доплата равна 2 рублям. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны.
Выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен. Вычтем из него число 11 с? Отсюда вытекает следующий признак делимости на надо из суммы всех цифр, стоящих на нечет- ных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число положительное или отрицательное , кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на Значит, данное число делится на Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел.
Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа на- лево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в про- тивном случае — нет.
Например, пусть требуется ис- пытать число Докажем этот признак делимости. Разобьем мно- гозначное число N на грани. Тогда мы получим дву- значные или однозначные 1 числа, которые обозна- чим справа налево через а, Ь, с и т. Кроме того, грань вида 03 также следует рассматривать как однозначное число 3.
В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число о. Номер автомашины ЗАДАЧА Прогуливаясь по городу, трое студентов-матема- тиков заметили, что водитель автомашины грубо на- рушил правила уличного движения. Номер машины четырехзначный ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзнач- ного числа.
Один из студентов вспомнил, что две пер- вые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четы- рехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины? Число это делится на 11, а потому будучи точным квадратом оно делится и на II 2. Поэтому для цифры а, которая равна 11 — 6, нахо- дим такие возможные значения: И, 10, 7, 6, 5, 2.
Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырех чисел: , , , Делимость на 19 Обосновать следующий признак делимости на Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоен- ным числом единиц, кратно Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47 Так как 19 делится на 19 без остатка, то кратны 19 и числа 57, , , 47 , , 4 , 47 Итак, наше число делится на Составные числа Число так называемых простых чисел, т.
Начинаясь числами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, Вклиниваясь между числами составными, они разбивают нату- ральный ряд чисел на более или менее длинные уча- стки составных чисел. Какой длины бывают эти уча- стки? Следует ли где-нибудь подряд, например, тысяча составных чисел, не прерываясь ни одним простым числом? Можно доказать, — хотя это и может показаться неправдоподобным, — что участки составных чисел между простыми бывают любой длины. Нет гра- ницы для длины таких участков: они могут состоять из тысячи, из миллиона, из триллиона и т.
Например 5! Остается доказать, что все они — составные. А всякое четное число, большее 2, — со- ставное.
Значит, и это число составное. Иначе говоря, каждое число на- шего ряда содержит множитель, отличный от еди- ницы и его самого; оно является, следовательно, составным. Если вы желаете написать, например, пять после- довательных составных чисел, вам достаточно в при- веденный выше ряд подставить вместо п число 5. Вы получите ряд , , , , Но это — не единственный ряд из пяти последова- тельных составных чисел.
Имеются и другие, на- пример, 62, 63, 64, 65, Или еще меньшие числа: 24, 25, 26, 27, Искомой серией чисел, следовательно, может служить такая: , , и т. Однако существуют серии из десяти гораздо меньших последовательных составных чисел. Так, можно ука- зать на серию даже не из десяти, а из тринадцати составных последовательных чисел уже во второй сотне: , , , и т. Число простых чисел Существование сколь угодно длинных серий по- следовательных составных чисел способно возбу- дить сомнение в том, действительно ли ряд про- стых чисел не имеет конца.
Не лишним будет по- этому привести здесь доказательство бесконечности ряда простых чисел. Доказательство это принадлежит древнегреческо- му математику Евклиду и входит в его знаменитые «Начала».
